miércoles, 13 de febrero de 2008

Teoría de errores

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Un error es una incertidumbre en el resultado de una medida. Se define como la diferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va:

e = Vr – Va

Existen diferentes tipos errores, cada uno se puede expresar en forma absoluta o en forma relativa.



Tipos de errores


Error de redondeo:
Se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se este utilizando.

Existen dos tipos de errores de redondeo:

* Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.

* Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo del número en particular:


para números positivos, el último dígito que se puede conservar en la localización de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

para números negativos, el último dígito que se puede conservar en la localización de la memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

Error por truncamiento:
Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un numero infinito de instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado problema. Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solución exacta que se pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma. Al error producido por la finalización prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en serie de Taylo r. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.

Error numérico total:
Se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Mientras más cálculos se tengan que realiza para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando.

Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).

Errores humanos:
Son los errores por negligencia o equivocación. Las computadoras pueden dar números erróneos po r su funcionamiento. Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los hombres. Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesión de métodos y el diseño de la solución del problema. Los errores humanos por negligencia son prácticamente inevitables pero se pueden minimizar.

Error inherente:
En muchas ocasiones, los datos con que se inician los cálculos contienen un cierto error debido a que se han obtenido mediante la medida experimental de una determinada magnitud física. Así por ejemplo, el diámetro de la sección de una varilla de acero presentará un error según se haya medido con una cinta métrica o con un pie de rey. A este tipo de error se le denomina error inherente.

Error absoluto:
Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado:

Error absoluto = [exacto - calculado]

Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible que una suma ("algebraica") de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa. Pero también es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen cero a menudo. Un enfoque realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, están estadísticamente distribuidos.

Error relativo:
Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado. Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de estas dos cantidades. La mayor parte de las veces utilizaremos

Error relativo= [exacto - calculado]/[exacto]

El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en especial cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los números que se redondean. El denominador de la ecuación de arriba compensa este efecto.


Una característica relacionada de error relativo es que los efectos de escalar la variable (es decir, de multiplicarla por una constante distinta de cero, incluyendo cambios en la unidad de medición) se cancelan. Una buena medida del error debería ser "invariante de las escalas", de modo que al cambiar de yardas a pulgadas, digamos, no debería amplificar el error aparente por 36, como sucedería en la ecuación de arriba. Si bien las matemáticas puras se inclinarían a utilizar el error absoluto, en general el error relativo se emplea en las ciencias aplicadas.

Algunas veces conviene multiplicar el error relativo por 100 (por ciento) para ponerlo en una base porcentual.



Propagación del error

Las consecuencias de la existencia de un error en los datos de un problema son mas importantes de lo que aparentemente puede parecer. Desafortunadamente, esto errores se propagan y amplifican al realizar operaciones con dichos
datos, hasta el punto de que puede suceder que el resultado carezca de significado. Con el propósito de ilustrar esta situación, seguidamente se calcula la diferencia entre los números:

a = 0.276435 b = 0.2756

Si los cálculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por aproximación y trabajando con tres dígitos de mantisa, los valores aproximados a dichos números y el error relativo cometido es:

a = 0.276 error relativo= 1.57x10-3

b = 0:276 error relativo= 1.45x10-3

Si ahora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia entre los aproximados se obtiene:

a - b = 0:000835

a'- b'= 0.0

Debe observarse que el error relativo de la diferencia aproximada es del 100%. Este ejemplo, extraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como el error de redondeo de los datos se ha amplificado al realizar una única operación, hasta generar un
resultado carente de significado.



Bibliografía:


http://www.uv.es/vimonmas/mneq/fitxers/T01G06.doc

Métodos numéricos. Introducción, aplicaciones y propagación. Antonio Huerta Cerezuelo, Barcelona, 1998, págs. 72-77.

http://www.esimeazc.ipn.mx/MatDesc/Licenciatura/METODOSNUMERICOS/Metodos/Intro.htm

1 comentario:

Equipo 5 dijo...

Por fín quedo! Listo <3